कॉन्सेप्ट · गणितीय संक्रियाएँ
संख्याओं और चिह्नों वाले सवाल को हल करने का एक तय, सर्वमान्य क्रम चाहिए। यही क्रम उत्तर तय करता है।
मॉक टेस्ट में रिया के सामने यह आता है:
20 + 12 ÷ 4 × 3 − 5 = ?
वह वैसे ही हल करती है जैसे किताब पढ़ते हैं: बाएँ से दाएँ। 20 + 12 हुए 32. 4 से भाग दिया तो 8. 3 से गुणा किया तो 24. 5 घटाए तो 19. विकल्पों में 19 है, तो वह उस पर निशान लगा देती है, ख़ुश कि यह कितनी जल्दी हो गया।
टेस्ट के बाद वह ₹10 का एक पेन और ₹30-₹30 की दो कॉपियाँ ख़रीदती है। वह बिना सोचे ₹70 दे देती है।
कबीर के साथ घर लौटते हुए, वह रसीद के पीछे बिल वैसे ही लिखती है जैसे मॉक टेस्ट में सवाल लिखा था: 10 + 2 × 30. फिर वह उसे बाएँ से दाएँ हल करती है, जैसे टेस्ट में किया था। 10 + 2 हुए 12, 30 से गुणा किया तो 360.
“बाएँ से दाएँ चलें, तो यह बिल ₹360 का बनता है,” वह कहती है। “एक पेन और दो कॉपियों का?”
कबीर हँसता है। “वाह, क्या पेन है!”
वह रुक जाती है। काउंटर पर उसने बिना सोचे पहले गुणा किया था: दो कॉपियाँ, ₹60, और उसके बाद पेन बिल में जुड़ा। तो 10 + 2 × 30 का मान 70 है, और मॉक टेस्ट में उसने सवाल ग़लत क्रम में हल किया था।
सबसे पहले कोष्ठक (Brackets)। फिर Order: यानी घात और मूल (जैसे वर्गमूल)। फिर भाग और गुणा, एक ही दर्जे पर, बाएँ से दाएँ। फिर जोड़ और घटाना, एक ही दर्जे पर, बाएँ से दाएँ।
अक्षरों का मतलब: B यानी Brackets (कोष्ठक), O यानी Order (घात और मूल), D और M यानी Division और Multiplication (भाग और गुणा), A और S यानी Addition और Subtraction (जोड़ और घटाना)। O में घात और मूल आते हैं, जैसे 3² या √16. घात अपनी संख्या से चिपकी रहती है और किसी भी दूसरे चिह्न से पहले उसी पर लगती है, इसलिए 2 × 3² = 2 × 9 = 18 होता है, 6² = 36 नहीं।
कुछ किताबें O को “of”, यानी ‘का’, पढ़ती हैं। अगर किसी सवाल में “of” लिखा हो, जैसे 48 ÷ 4 of 3, तो उसे × मानिए और बाक़ी ÷ और × से पहले हल कीजिए: 4 of 3 = 12, और 48 ÷ 12 = 4. बाएँ से दाएँ चलें तो 36 आएगा, जो ग़लत उत्तर है।
19 ठीक वही है जो बाएँ से दाएँ चलने पर आता है, इसलिए इसी विकल्प पर शक कीजिए।
फिर एक दिन रिया इन अक्षरों को कुछ ज़्यादा ही शब्दशः ले लेती है। BODMAS में A, S से पहले आता है, तो 20 − 5 + 3 में वह पहले जोड़ती है: 5 + 3 = 8, और 20 − 8 = 12.
फिर वह इसे अपने पर्स पर आज़माती है। उसके पास ₹20 हैं, वह ₹5 का पेन ख़रीदती है, और एक दोस्त से उसे ₹3 वापस मिल जाते हैं। उसके पास ₹18 हैं, ₹12 नहीं। BODMAS के छह अक्षर छह अलग पायदान नहीं हैं: जोड़ और घटाना एक ही पायदान पर हैं, इसलिए बाएँ से दाएँ चलिए, 20 − 5 = 15, फिर 15 + 3 = 18. भाग और गुणा भी एक ही पायदान पर हैं: 36 ÷ 6 × 2 = 6 × 2 = 12. वहाँ पहले गुणा करना (36 ÷ 12 = 3) ग़लती है।
ऐसे विकल्पों से सावधान रहिए जो इन दो ग़लतियों से निकलते हैं: पूरा सवाल बाएँ से दाएँ, या एक ही पायदान वाले चिह्न बाएँ से दाएँ की जगह दाएँ से बाएँ। कुछ सवाल चिह्नों को छिपा भी देते हैं, अक्षरों के रूप में या एक-दूसरे से बदलकर। पहले पूरा सवाल असली चिह्नों में लिखिए, फिर क्रम एक ही बार लगाइए, सबसे अंदर वाले कोष्ठक से शुरू करके।
1. 15 + 6 × 3 − 4 का मान निकालिए।
कौन-सा चिह्न पहले हल होता है?
29
पहले गुणा: 6 × 3 = 18. अब सवाल है 15 + 18 − 4.
फिर बाएँ से दाएँ: 15 + 18 = 33, और 33 − 4 = 29. (शुरू से ही बाएँ से दाएँ चलने पर 59 आता है।)
2. 48 ÷ 8 × 2 का मान निकालिए।
भाग और गुणा एक ही पायदान पर हैं।
12
एक ही पायदान, इसलिए बाएँ से दाएँ: 48 ÷ 8 = 6, फिर 6 × 2 = 12.
पहले गुणा करने पर 3 आता है, मानो × की बारी ÷ से पहले आती हो।
3. 7 + (9 − 3)² ÷ 4 × 2 का मान निकालिए।
पहले कोष्ठक, फिर घात। फिर ÷ और ×, बाएँ से दाएँ।
25
कोष्ठक: 9 − 3 = 6. घात: 6² = 36. अब सवाल है 7 + 36 ÷ 4 × 2.
÷ और × बाएँ से दाएँ: 36 ÷ 4 = 9, फिर 9 × 2 = 18. आख़िर में, 7 + 18 = 25. (पहले 4 × 2 करने पर 11.5 आता है; वर्ग छोड़ देने पर 10.)
एक हफ़्ते बाद: 30 − 18 ÷ 3 × 2 + 1 = ? रिया ÷ और × पर एक साथ घेरा बनाती है। 18 ÷ 3 हुए 6, 2 से गुणा किया तो 12. फिर 30 − 12 + 1. वह 19 लिखती है, और इस बार यह सही है।
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