कॉन्सेप्ट · नंबर सीरीज़
संख्याओं को घूरना बंद कीजिए। उनके बीच जो होता है, वह लिखिए।
कबीर के सामने एक नंबर सीरीज़ है:
2, 5, 11, 20, 32, ?
दो से गुणा? नहीं। वर्ग? नहीं। वह संख्याओं को देखता रहता है और इंतज़ार करता है कि पैटर्न अपने आप दिख जाए। पैटर्न नहीं दिखता। एक मिनट बाद वह उस विकल्प को चुन लेता है जो अंदाज़े से ठीक लगता है।
घर में दरवाज़े की चौखट पर उसकी छोटी बहन की लंबाई पेंसिल से दर्ज है, हर जन्मदिन पर एक लकीर: 87, 96, 104, 111. वह जानना चाहती है कि अगले साल उसकी लंबाई कितनी होगी।
“तुम पहले नौ बढ़ीं, फिर आठ, फिर सात,” कबीर उससे कहता है। “तो लगभग छह और। 117.”
फिर उसे अपनी ही बात सुनाई देती है, और समझ आता है कि उसने अभी क्या किया। उसने लंबाइयों को देखा ही नहीं। उसने देखा कि दो लकीरों के बीच वह कितनी बढ़ी, और यह बढ़ना कैसे बदल रहा था। वह मॉक टेस्ट का पेपर फिर से निकालता है।
सीरीज़ के नीचे अंतर लिखिए। अगर सारे अंतर एक जैसे नहीं हैं, तो अंतरों के अंतर लिखिए। ऐसे ही तब तक चलते रहिए जब तक कम से कम तीन संख्याओं वाली कोई पंक्ति पूरी की पूरी एक जैसी न हो जाए। फिर उस पंक्ति को एक संख्या आगे बढ़ाइए, और जोड़ते-जोड़ते वापस ऊपर तक पहुँचिए।
किसी आइडिया के आने की ज़रूरत ही नहीं पड़ी। पैटर्न पकड़ने का काम तालिका ने किया।
कभी-कभी अंतरों के अंतर भी सब एक जैसे नहीं होते। 1, 2, 6, 15, 31, 56, ? में अंतर हैं 1, 4, 9, 16, 25, फिर 3, 5, 7, 9, फिर 2, 2, 2. सबसे नीचे की पंक्ति आगे 2 पर जाती है, तो बीच की पंक्ति आगे 11 पर, अंतर 25 + 11 = 36 पर, और सीरीज़ 56 + 36 = 92 पर। वही तरीक़ा, बस एक मंज़िल और नीचे।
और अगर तीन पंक्तियाँ नीचे जाकर भी कोई पंक्ति एक जैसी नहीं होती, तो यह सीरीज़ ऐसे नहीं बढ़ रही जिसे तालिका पकड़ सके। रुकिए, और कहीं और देखिए: पदों में लैंडमार्क, यानी पहचान-चिह्न, ढूँढिए (वर्ग, घन), गुणा वाला कोई नियम ढूँढिए, या ख़ुद अंतरों में देखिए (क्या अंतर अभाज्य संख्याएँ, यानी प्राइम, हैं, या हर बार दुगने हो रहे हैं?): लैंडमार्क संख्याएँ।
जोड़कर बनी सीरीज़ का नियम पदों के बीच होता है, पदों में नहीं। पैटर्न के अपने आप दिखने का इंतज़ार करने में एक मिनट लग सकता है, और आख़िर में अंदाज़ा ही लगाना पड़ सकता है। तालिका उन्हीं संख्याओं से, घटाने की कुछ पंक्तियों में, नियम दिखा देती है, और जब उसे कुछ नहीं मिलता, तो वह बता देती है कि अब लैंडमार्क ढूँढिए।
1. सीरीज़ का अगला पद बताइए:
3, 5, 9, 15, 23, ?
नीचे अंतर लिखिए। क्या वे एक जैसे हैं? अगर नहीं, तो अंतरों के अंतर लिखिए।
33
अंतर हैं 2, 4, 6, 8. इनके अंतर हैं 2, 2, 2: सब एक जैसे।
अगला अंतर है 8 + 2 = 10, तो अगला पद है 23 + 10 = 33.
2. सीरीज़ का अगला पद बताइए:
2, 6, 12, 20, 30, ?
अंतर हर बार बराबर मात्रा में बढ़ते हैं।
42
अंतर हैं 4, 6, 8, 10, हर बार 2 बढ़ते हुए।
अगला अंतर है 12, तो अगला पद है 30 + 12 = 42.
3. सीरीज़ का अगला पद बताइए:
1, 3, 8, 16, 27, ?
अंतरों के अंतर सब एक जैसे हैं। वे कौन-सी संख्या हैं?
41
अंतर हैं 2, 5, 8, 11. इनके अंतर हैं 3, 3, 3.
अगला अंतर है 11 + 3 = 14, तो अगला पद है 27 + 14 = 41.
एक हफ़्ते बाद: 3, 7, 13, 21, 31, ? कबीर किसी चीज़ का इंतज़ार नहीं करता। अंतर 4, 6, 8, 10; इनके अंतर 2, 2, 2. अगला अंतर 12. वह 43 लिखता है।
नंबर सीरीज़ ऐप के पंद्रह टॉपिक में से एक है। वहाँ हर सवाल का हल तभी दिखता है जब आप पहले उसका उत्तर दे दें।
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