कॉन्सेप्ट · नंबर सीरीज़
कुछ संख्याएँ देखते ही पहचान लेनी चाहिए, वैसे ही जैसे आप अपनी गली पहचानते हैं।
रिया ने अभी-अभी अंतर तालिका सीखी है, और उसे यह पसंद है। उसके सामने यह आता है:
121, 144, 169, ?, 225
अंतर: 23, 25. तो अगला अंतर 27 है, और ख़ाली जगह पर 196; फिर 225 − 196 = 29 भी ठीक बैठता है: अंतर 23, 25, 27, 29, और इनके अंतर 2, 2, 2. तरीक़ा काम करता है। पर इसमें उसे एक मिनट भी लग जाता है, और उसे लगता है कि इतना समय नहीं लगना चाहिए था।
अगला सवाल और मुश्किल है:
2, 3, 5, 7, 11, 13, ?
अंतर: 1, 2, 2, 4, 2. अंतरों के अंतर: 1, 0, 2, −2. उनके अंतर: −1, 2, −4. कोई पंक्ति एक जैसी नहीं होती। जिस तालिका ने पाँच मिनट पहले उसे बचाया था, उसके पास अब कहने को कुछ नहीं।
उस शाम कबीर पहली बार रिया के घर आ रहा है, और वह मेन रोड से फ़ोन करता है।
“तुम्हारा घर कैसे ढूँढूँ?”
“पेट्रोल पंप से आगे, मंदिर से बाएँ मुड़कर, दाईं ओर तीसरा घर।”
“मैं जहाँ खड़ा हूँ, वहाँ से कितने घर हुए?”
“पता नहीं।”
फ़ोन रखकर वह इस बारे में सोचती है। उसने वे घर कभी गिने ही नहीं। रास्ता उन गिनी-चुनी जगहों से मिलता है जिन्हें आप देखते ही पहचान लेते हैं, और वहाँ से बस आख़िरी कुछ कदम गिनने पड़ते हैं। उसकी दोनों सीरीज़ ऐसी ही जगहों से बनी थीं: 121 और 144 वर्ग हैं, और 2, 3, 5, 7 अभाज्य संख्याएँ (प्राइम) हैं। संख्याओं के भी लैंडमार्क (पहचान-चिह्न) होते हैं।
इन्हें देखते ही पहचानिए: 1² से 25² तक के वर्ग, 1³ से 10³ तक के घन, 2¹⁰ तक 2 की घातें, 1! से 7! तक के फ़ैक्टोरियल, और 100 तक की 25 अभाज्य संख्याएँ।
ये रहीं सारी। यह कॉन्सेप्ट तरीक़े से ज़्यादा याद करने की चीज़ है, और शुरुआत वर्गों से कीजिए। (फ़ैक्टोरियल n! का मतलब है 1 × 2 × … × n, यानी 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24.)
121, 144, 169 हैं 11², 12², 13². ख़ाली जगह पर 14² = 196: एक नज़र, कोई घटाना नहीं।
2, 3, 5, 7, 11, 13 क्रम से अभाज्य संख्याएँ हैं। अभाज्य संख्याओं के बीच के अंतर किसी सरल नियम पर नहीं चलते, और ठीक इसीलिए तालिका को कुछ नहीं मिला। अंतरों का कोई सरल पैटर्न अगली अभाज्य संख्या नहीं बताता। उसे लिस्ट बताती है, या हर संख्या के गुणनखंड जाँचना: 14 = 2 × 7, 15 = 3 × 5 और 16 = 2 × 8, तीनों को छोटे गुणनखंडों में तोड़ा जा सकता है, इसलिए इनमें से कोई अभाज्य नहीं है, और अगली अभाज्य संख्या है 17.
लैंडमार्क थोड़ा-सा खिसककर छिप सकता है: एक ज़्यादा, या एक कम। 2, 9, 28, 65, ? वाली सीरीज़ देखने में कुछ भी नहीं लगती, जब तक आप हर पद को सबसे पास के लैंडमार्क से नहीं मिलाते: 1, 8, 27, 64 घन हैं, और हर पद उनसे एक ज़्यादा है। अगला घन 125 है, तो अगला पद है 126.
इसलिए जब कोई सीरीज़ लगभग जानी-पहचानी लगे, तो हर पद को सबसे पास के लैंडमार्क से मिलाइए, और देखिए कि हर पद उससे कितनी दूर है।
वर्गों वाली सीरीज़ तालिका से धीरे-धीरे हल हो सकती है, और अभाज्य संख्याओं वाली सीरीज़ तो बिल्कुल नहीं। जो विद्यार्थी लैंडमार्क जानता है, वह उन्हीं संख्याओं को पुराने दोस्तों की लिस्ट की तरह पढ़ता है।
जोड़कर बनी सीरीज़ के लिए: अंतर तालिका।
1. सीरीज़ का छूटा हुआ पद बताइए:
169, 196, 225, ?, 289
169 है 13 × 13. बाक़ी क्या हैं?
256
169, 196, 225 और 289 हैं 13², 14², 15² और 17².
छूटा हुआ पद है 16² = 256.
2. सीरीज़ का अगला पद बताइए:
0, 7, 26, 63, ?
हर पद किसी घन के ठीक बग़ल में है।
124
घन हैं 1, 8, 27, 64, और हर पद उनसे एक कम है: 0, 7, 26, 63.
अगला घन 125 है, तो अगला पद है 125 − 1 = 124.
3. सीरीज़ का अगला पद बताइए:
13, 17, 19, 23, 29, ?
अंतर हैं 4, 2, 4, 6: कोई पैटर्न नहीं। ये किस तरह की संख्याएँ हैं?
31
ये 13 से शुरू होकर, क्रम से, अभाज्य संख्याएँ हैं।
29 के बाद 30 सम है, और 31 का 1 और 31 के सिवा कोई गुणनखंड नहीं, तो अगली अभाज्य संख्या 31 है। (37 भी अभाज्य है, पर 31 पहले आती है।)
एक हफ़्ते बाद: 50, 65, 82, ? रिया एक भी अंतर नहीं लिखती। 49, 64, 81 वर्ग हैं, और हर पद उनसे एक ज़्यादा है। अगला वर्ग 100 है। वह 101 लिखती है।
नंबर सीरीज़ ऐप के पंद्रह टॉपिक में से एक है। वहाँ हर सवाल का हल तभी दिखता है जब आप पहले उसका उत्तर दे दें।
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