कॉन्सेप्ट · गणितीय संक्रियाएँ
जब सवाल चिह्नों का मतलब बदल दे, तो पहले पूरी लाइन नए चिह्नों में लिखिए। हिसाब उसके बाद।
मॉक टेस्ट में रिया के सामने यह आता है:
अगर + का मतलब × हो और × का मतलब + हो, तो 6 + 4 × 3 का मान निकालिए।
वह छपी हुई लाइन पर ही काम करती है। + का मतलब × है, तो वह उसे बदल देती है: 6 × 4 × 3. × का मतलब + है, तो वह सारे × बदल देती है: 6 + 4 + 3. इससे 13 आता है, और 13 विकल्पों में है। वह उस पर निशान लगा देती है, पर कोई बात उसे खटकती रहती है।
अगली सुबह क्लास टीचर रिया को, जो क्लास मॉनिटर है, बताती हैं कि इस हफ़्ते सोमवार और मंगलवार के टेस्ट आपस में बदल गए हैं। बोर्ड पर लिखा है: गणित का टेस्ट सोमवार को, हिंदी का टेस्ट मंगलवार को, आर्ट का टेस्ट सोमवार को।
बोर्ड पर जहाँ-जहाँ सोमवार लिखा है, रिया उसे मिटाकर मंगलवार लिखती है। फिर जहाँ-जहाँ मंगलवार लिखा है, उसे मिटाकर सोमवार लिखती है। वह एक कदम पीछे हटकर देखती है। तीनों टेस्ट सोमवार को हैं।
उसके दूसरे बदलाव ने पहला बदलाव उलट दिया: जो मंगलवार उसने अभी-अभी लिखे थे, वे सीधे फिर से सोमवार बन गए। मॉक टेस्ट में भी उसने यही किया था, जहाँ अभी-अभी लिखा × फिर से बदल गया। तो वह नए सिरे से शुरू करती है, और इस बार नए दिन पुराने दिनों के नीचे लिखती है। वह हर पुराना दिन एक बार पढ़ती है और उसका नया दिन नीचे लिखती है: गणित, सोमवार, तो मंगलवार। हिंदी, मंगलवार, तो सोमवार। आर्ट, सोमवार, तो मंगलवार। जो उसने अभी-अभी लिखा है, उसे वह पढ़ती ही नहीं।
छपी हुई लाइन के नीचे नई लाइन लिखिए। हर छपा हुआ चिह्न एक बार पढ़िए और उसका मतलब लिखिए; कोष्ठक जहाँ हैं, वहीं रहते हैं। जब तक नई लाइन पूरी न हो जाए, कोई हिसाब मत कीजिए। फिर उसे सामान्य क्रम में हल कीजिए: कोष्ठक, घात, फिर ÷ और × बाएँ से दाएँ, फिर + और − बाएँ से दाएँ।
इससे दो ग़लतियाँ दूर रहती हैं: जो चिह्न आप बदल चुके हैं, उसे दोबारा बदल देना, और जो चिह्न अभी बदला नहीं, उसी से हिसाब कर लेना। अदला-बदली से यह बदलता है कि लाइन में कौन-से चिह्न हैं। जिस क्रम में उनका हिसाब होता है, वह कभी नहीं बदलता।
यह क्रम विस्तार से: BODMAS.
13 एक चिह्न को दो बार बदलने से आया था। 18 चिह्नों को बिल्कुल न बदलने से आता है: 6 + 4 × 3 को जैसा छपा है वैसे हल करें, तो 6 + 12 = 18. इन दोनों में से कोई भी विकल्पों में हो सकता है।
कुछ सवाल चिह्नों को दो-दो की जोड़ियों में बदलते हैं: “+ और − आपस में बदल दिए गए हैं, और × और ÷ भी”। कुछ सवाल अक्षरों का इस्तेमाल करते हैं: “P का मतलब +, Q का मतलब ×”। तरीक़ा वही है। 12 P 3 Q 4 नीचे लिखने पर 12 + 3 × 4 बन जाता है; फिर 3 × 4 = 12, और 12 + 12 = 24.
देखिए कि अदला-बदली किस दिशा में है। “+ का मतलब ×” हो, तो छपा हुआ + बदलकर × बनता है। “+ को × लिखा जाता है” हो, तो उल्टा: छपा हुआ × असल में + है।
चिह्नों की अदला-बदली वाले सवाल में दो काम करने होते हैं: अदला-बदली पढ़ना, और संक्रियाओं का क्रम। नीचे नई लाइन लिख लेने से पहला काम पूरी तरह ख़त्म हो जाता है, उसके बाद ही दूसरा शुरू होता है।
1. अगर × का मतलब + हो और + का मतलब × हो, तो 5 × 3 + 2 का मान निकालिए।
पहले छपी हुई लाइन के नीचे नई लाइन लिखिए, हर छपा हुआ चिह्न एक बार पढ़कर।
11
नई लाइन: 5 + 3 × 2.
BODMAS: 3 × 2 = 6, फिर 5 + 6 = 11. (छपे हुए चिह्नों से 17 आता है; किसी चिह्न को दो बार बदलने से 30; नई लाइन पर बाएँ से दाएँ चलने से 16.)
2. अगर P का मतलब +, Q का मतलब −, R का मतलब × और S का मतलब ÷ हो, तो 18 S 3 R 4 P 2 का मान निकालिए।
कोई भी हिसाब करने से पहले हर अक्षर की जगह उसका चिह्न लिखिए।
26
नई लाइन: 18 ÷ 3 × 4 + 2.
÷ और × बाएँ से दाएँ: 18 ÷ 3 = 6, फिर 6 × 4 = 24. फिर 24 + 2 = 26. (÷ से पहले × करने पर 3.5 आता है।)
3. अगर + और − आपस में बदल दिए जाएँ, और × और ÷ भी आपस में बदल दिए जाएँ, तो 12 × 4 − 6 ÷ 2 का मान निकालिए।
लाइन का हर चिह्न बदलता है। कुछ भी हल करने से पहले पूरी नई लाइन लिखिए।
15
नई लाइन: 12 ÷ 4 + 6 × 2.
पहले ÷ और ×: 12 ÷ 4 = 3 और 6 × 2 = 12. फिर 3 + 12 = 15. (छपे हुए चिह्नों से 45 आता है: 48 − 3. नई लाइन पर बाएँ से दाएँ चलने से 18.)
एक हफ़्ते बाद:
अगर − का मतलब ÷ हो और ÷ का मतलब − हो, तो 20 − 4 ÷ 3 का मान निकालिए।
किसी भी संख्या को छूने से पहले रिया नीचे नई लाइन लिखती है: 20 ÷ 4 − 3. फिर 5 − 3. वह 2 लिखती है।
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